Filosofía Fundamental Tomo IV by Padre Jaime Luciano Balmes - HTML preview

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FILOSOFÍA FUNDAMENTAL.

por

D. JAIME BALMES,

PRESBÍTERO

TOMO IV.

Segunda edicion.

Barcelona:

IMPRENTA DE A. BRUSI.

Calle de las Libreterías n.º 4.

1848.

{4}

Es propiedad del Autor.

{5}

LIBRO OCTAVO.

LO INFINITO.

CAPÍTULO I.

OJEADA SOBRE EL ESTADO ACTUAL DE LA FILOSOFÍA.

[1.] En las obras de filosofía trascendental publicadasde algunos años á esta parte, se emplean con muchafrecuencia las palabras infinito, absoluto, indeterminado,incondicional, haciéndolas representar un gran papel en laexplicacion de los mas recónditos arcanos que ofrecersepuedan á la consideracion del hombre. Con ellas se combinanlas de finito, relativo determinado, condicional; y de estacombinacion se pretende que ha de surgir el rayo de luz que disipelas tinieblas de las regiones filosóficas.

[2.] A pesar del mal uso que muchos hacen de semejantespalabras, preciso es confesar, que es consolador el hecho indicadopor el mismo prurito de emplearlas. Este hecho es un esfuerzo del{6}espíritu humano para levantarse del polvo en que le hundierala impía escuela del pasado siglo.

[3.] ¿Qué era el mundo á los ojos de losfalsos filósofos que precedieron á la revolucionfrancesa?

un conjunto de materia, sujeta á movimiento porsimples leyes mecánicas, cuya explicacion estaba dadapronunciando: ciega necesidad. ¿Qué era elespíritu humano? nada mas que materia.

¿Quéera el pensamiento? una modificacion de la materia. ¿Enqué se diferenciaba la materia pensante de la no pensante?En un poco mas ó menos de sutileza, en una disposicion deátomos mas ó menos feliz. ¿Qué era lamoral? una ilusion. ¿Qué eran los sentimientos? unfenómeno de la materia. ¿Cuál era elorígen del hombre? el de la materia; de un fenómenoofrecido por una porcion de moléculas, que ahora se hallanen una disposicion y luego en otra muy diferente.

¿Hablabaisde un destino mas allá del sepulcro? Se os contestaba conuna desdeñosa sonrisa.

¿Pronunciabais la palabrareligion? El desden aumentaba, se convertia en desprecio.¿Recordabais la dignidad humana? Sí, se os otorgabaesta dignidad, con tal que os consideraseis como una graduacion masperfecta, mas nó de distinta naturaleza, de los demásanimales. No se os negaba que vuestra figura fuese mas noble ygalana que la del mono; no se os disputaba la superioridad de lainteligencia; pero debiais guardaros de pretender ni áorígen ni á destino mas elevados. El curso de lossiglos podia desarrollar {7} y perfeccionar las formas del mono,é igualarlas con las vuestras; podia desarrollar yperfeccionar su masa cerebral de tal suerte que de losdescendientes de ese mono que os divierte con sus movimientosextravagantes y sus actitudes ridículas, nacieran hombrescomo Platon, san Agustin, Leibnitz ó Bossuet.

[4.] Con semejante sistema, inútil era pensar en ideas;no habia mas que sensaciones: cuanto se agita en la mente delhombre, desde el mas imbécil, hasta el genio mas poderoso,no era mas que una sensacion trasformada. Los elementos de lahumana inteligencia eran absolutamente los mismos de que dispone elbruto; pensar no era mas que sentir mejor. Tal era el últimotérmino del análisis, tal el resultado de la masdelicada observacion, tal la solucion que á los problemasdel entendimiento del hombre encontrara la mas profundafilosofía. Platon, Aristóteles, san Agustin, santoTomás, Descartes, Malebranche, Leibnitz, no eran mas quesoñadores sublimes, cuyo genio contrastaba con su ignoranciade la verdadera naturaleza de las cosas. Todos ellos no sabian nadaen materia de ideología y metafísica: estas cienciaseran un mundo desconocido, hasta que vinieron á descubrirloLocke y Condillac.

[5.] Esa escuela tan funesta como frívola, habia envueltoel espíritu en la materia, y le habia ahogado. La mariposano podia desplegar sus leves alas, de lindos y variados colores;era preciso

{8} que se despojase de ellas, y que seconvirtiese en gusano torpe é inmundo, enredado en unaenvoltura, tan inmunda y torpe como él. En esto consistia elprogreso. El límite de la perfeccion ideológica eranegar las ideas; el de los estudios metafísicos, negar losespíritus; el de los morales, negar la moral; el de lossociales, negar el poder; el de los políticos, establecer lalicencia; el de los religiosos, negar á Dios. Asímarchaba la razon humana en una direccion retrógrada,creyendo avanzar; así pensaba levantar el edificio de susconocimientos, cuando no hacia mas que demoler; así queriallegar á un resultado científico, negando cuantoencontraba al paso, y negándose por fin á símisma.

[6.] En la actualidad, hay una verdadera reaccion contrafilosofía tan degradante; basta abrir los escritos de losfilósofos de este siglo para convencerse de esta verdadconsoladora. En todas partes se encuentra la palabra idea,contrapuesta á la de sensacion; la de espíritu,á la de materia; la de actividad del pensamiento, ála de movimiento corpóreo; las de causa, órden,libertad de albedrío, moral, infinidad. Las ideas que lasacompañan son á veces inexactas, á vecesmonstruosas; pero en el fondo se ve un afan por salir del abismo enque sumiera al espíritu humano una filosofía atea ymaterialista. Algunos filósofos que han contribuido ála reaccion no admiten un Dios inteligente y libre, distinto deluniverso; es verdad, y por esto he dicho mas arriba que el{9}panteismo era un ateismo disfrazado; pero al menos el ateismo delos panteistas de la época, es un ateismo que seavergüenza de confesarse tal, que algunas veces procuraquizás engañarse á sí propio,persuadiéndose que no lo es.

[7.] El ateismo de los modernos filósofos se aviene conlo infinito; no rechaza esas grandes ideas que vagaban por el mundoantiguo, como restos de una tradicion primitiva, y que luego fueronfijadas, aclaradas y elevadas por la superior enseñanza delcristianismo. La filosofía del siglo pasado se habia sentadoen las tinieblas y sombras de la muerte, y se declaraba ásí propia en posesion de la luz y de la vida. Lafilosofía actual está todavía en la oscuridad,pero no se contenta con ella; anda á tientas en busca de unasalida á las regiones de la luz. De aquí esosesfuerzos desesperados por fijarse, nó en la materia, sinoen el foco de la inteligencia, en el yo, es decir en elespíritu; de aquí ese continuo empleo de laspalabras, absoluto, incondicional, infinito; palabras que si bienlas mas veces solo la conducen á un absurdo, indican sinembargo una aspiracion sublime.

[8.] Estas observaciones manifiestan, que no confundo lafilosofía actual con la del siglo pasado; que no consideroel panteismo de ahora, como un materialismo puro; y que ápesar del ateismo de que acuso la doctrina de algunosfilósofos, no desconozco que en medio de su extravíoconservan una especie de horror hácia él, y{10} perdidos en el laberinto de susespeculaciones buscan el hilo que los conduzca á las puertasde la verdad.

[9.] Esta justicia que les hago gustoso á los modernosfilósofos, no impedirá que combata sus pretensionesá un mérito que no tienen. Ellos se apellidan losrestauradores de la espiritualidad del alma, y de la libertadhumana; y cuando hablan de Dios, poco falta si no le exigen untributo de gratitud por haber restaurado su trono. Antes deostentar pretensiones tan orgullosas, debieran considerar quedistan mucho todavía de la verdad con respecto á Diosy al hombre, no solo tal como la ha enseñado en todostiempos el cristianismo, sino como la han profesado los masilustres filósofos modernos. Quieren apellidarserestauradores, pero su restauracion es con sobrada frecuencia, unanueva revolucion, á veces tan terrible como la que tratan decombatir.

[10.] Hay otra consideracion que debiera moderarlos cuando sequieren dar el aire de inventores, y es, que al hablar de Dios, delespíritu humano, del pensamiento, de las ideas, de lalibertad de albedrío, nada bueno dicen que no se halle entodas las obras de los filósofos que florecieron antes delsiglo XVIII, y aun á principios de él. Abrid loslibros de texto de las escuelas, y en ellos encontraréismuchas de las cosas que ahora se os presentan cual descubrimientosimportantes. Los grandes filósofos se glorian de saber, loque antes aprendian los niños. La tradicion {11}filosófica de las sanas ideas no se interrumpiódurante el siglo pasado; en muchos puntos de Europa se conservabanescuelas que los enseñaban con escrupulosa fidelidad. Yá mas de las escuelas humanas habia la del Hombre-Dios, laIglesia de Jesucristo, que entre sus dogmas sobrenaturalesconservaba tambien las verdades naturales, que esfuerzos insensatosse empeñaban en hacer olvidar.

[11.] ¿A qué se reducen pues la invencion y larestauracion? Invencion con respecto á Dios, alespíritu humano, y á la moral, no la hay; todo lo quese diga de verdad, estaba dicho ya.

Restauracion tampoco la haypropiamente hablando; no se restaura lo que no pereció. Laverdad existia; y conocida y atacada por los siete mil que nohabian doblado la rodilla ante Baal; cuando los tránsfugasvuelven y se acercan al número escogido, que no digan querestauran, digan que recobran; no dan, reciben; no iluminan almundo, son ciegos á quienes la bondad de la Providencia lesabre los ojos á la luz. {12}

CAPÍTULO II.

IMPORTANCIA Y ANOMALÍA DE LAS CUESTIONES SOBRE LA IDEADE

LO INFINITO.

[12.] El exámen de la idea de lo infinito es un objeto dela mayor importancia. A mas de que la encontramos en variasciencias, inclusas las exactas, encierra uno de los principalescaractéres en que distinguimos á Dios de lascriaturas. Un Dios finito no seria Dios; una criatura infinita noseria criatura.

En la escala de los seres finitos notamos una gradacion, por lacual se eslabonan los unos con los otros: los menos perfectos,á medida que se perfeccionan, van acercándoseá los perfectos; y salvos los límites de lanaturaleza de cada uno, hay puntos de comparacion que nos sirvenpara medir las distancias respectivas. Entre lo finito y loinfinito, no hay comparacion; todas las medidas son insuficientes,desaparecen: pasamos de la gota imperceptible á lainmensidad del océano; del átomo que se escapaá toda observacion, al piélago de materia difundidapor los espacios; y por mucho que esos tránsitos expresen,son nada para representar la idea de lo infinito: estosocéanos comparados con la infinidad verdadera, se conviertená su vez en nuevas gotas imperceptibles, y asírecorre el espíritu una escala {13}interminable, en busca de algo que pueda corresponder á suidea. El exámen de la idea de lo infinito, aunque no tuviesemas objeto que la contemplacion del grandor de la misma, deberiaocupar un puesto preferente en los estudios filosóficos.

[13.] Al fijar la consideracion en las disputas sobre la idea delo infinito, relativas no solo á la naturaleza de ella, sinotambien á su misma existencia, échase de ver unaextraña anomalía. Si existe en nuestro entendimiento,parece que deberia llenarlo todo; y que ha de ser imposible eldejar de experimentarla. No obstante es bien sabido que losfilósofos disputan hasta sobre la existencia de esta idea,de suerte que siendo ella un tesoro infinito, los que le poseendudan de su realidad: á la manera de los antiguos caballerosque hallándose en un soberbio castillo adornado con granriqueza y esplendor, dudaban de si lo que estaban presenciando erarealmente un castillo ó una ilusión producida por unhechicero.

[14.] La simple disputa sobre si la idea de lo infinito espositiva ó negativa, equivale tambien á la cuestionde su existencia. Si es negativa, expresa una falta de ser: si espositiva, significa una plenitud del ser; ¿puede acasoentablarse disputa mas vital para una idea que la de buscar sirepresenta la falta ó la plenitud de una cosa?

[15.] Hénos aquí pues con el hecho que hemosnotado ya en las discusiones anteriores: la razon tocando ásus cimientos, y como amenazada de {14} encontrar la muerte entrelas ruinas de los mas altos edificios que encuentra en sípropia.

CAPÍTULO III.

SI TENEMOS IDEA DE LO INFINITO.

[16.] ¿Tenemos alguna idea de lo infinito? Parece quesí; de lo contrario la palabra infinito nosignificaria nada para nosotros; y al emplearla, no nosentenderíamos recíprocamente, como nosentendemos.

[17.] Sea lo que fuere de la naturaleza y perfeccion de nuestraidea de lo infinito, es cierto que envuelve algo fijo, comuná todas las inteligencias. Fácilmente podemosobservar que esta idea la aplicamos á cosas deórdenes muy diferentes; y que la significacion en cada caso,es una misma para todos los hombres. Hasta las dificultades que nosabruman al querer explicarla en sí, y en sus aplicaciones,dimanan de ella misma; y á todos nos confunden igualmente,porque todos concebimos de un mismo modo, lo que se entiende porinfinito, tomado en general.

[18.] Infinito é indefinido expresan cosas muy diversas.Infinito significa carencia de límites; indefinido significaque los límites se retiran continuamente; {15} seprescinde de la existencia de los mismos, y solo se dice que no selos puede asignar.

[19.] Todo cuanto existe es ó finito ó infinito:pues que, ó tiene límites ó no los tiene; enel primer caso, es finito, en el segundo, infinito: no hay medioentre el sí y el nó.

[20.] Por donde se echa de ver que propiamente hablando, no hayen la realidad nada indefinido: esta palabra expresa una manera deconcebir, ó mas bien una vaguedad en el concepto, óuna indecision en el juicio. Cuando no conocemos los límitesde una cosa, y por otra parte no nos atrevemos á afirmar suinfinidad, la llamamos indefinida. Así han dicho que eraindefinido el espacio, los que no han visto medio deseñalarle un límite, y consideraban que no eraconveniente apellidarle infinito. Hasta en el lenguaje comun sellama indefinido, lo que no tiene señalados loslímites: así se dice «se ha concedido taló cual cosa por un tiempo indefinido» aunque este, conciertas condiciones, haya de ser limitado en alguna épocaque no se determina.

[21.] La idea de la infinidad no consiste en concebir queá una cantidad dada se le pueda siempre añadir otra;ó que á una perfeccion se la pueda hacer mas intensa:esto no expresa mas que la posibilidad de una serie de conceptoscon la que procuramos acercarnos á la idea absoluta de loinfinito. Que esta idea absoluta es algo distinto de aquellosconceptos, se ve claro en que {16} la miramos como un tipo alcual referimos la serie, y al que no podemos igualarla por mas quela prolonguemos.

[22.] Notemos el lenguaje con que naturalmente expresamos lo quepasa en nuestro interior al pensar en lo infinito.

Qué es una línea infinita?

Una línea que no tiene límites.

¿Será de un millon, de un billon de varas?

No se puede expresar su longitud con ningun número;será siempre mayor.

A medida que prolongamos una línea finita, ¿nosacercamos á la infinita?

Cierto, en cuanto acercarse significa poner cantidadesque se encuentran en aquello á que nos acercamos; peronó que esta diferencia pueda asignarse. No hay comparacion,entre lo finito y lo infinito; y por consiguiente, no es dableasignar la diferencia.

Sumando todas las líneas finitas, ¿se formaria unainfinita?

Nó: porque en esta adicion es concebible lamultiplicacion de cada uno de los sumandos; y por tanto, un aumentoen lo infinito, lo que es absurdo.

La infinidad de la línea, ¿consistirá enque no conozcamos sus límites, ó no pensemos enellos?

Nó: sino en que no los tenga.

[23.] Por este diálogo, que está al alcance de lasinteligencias mas comunes, y que no expresa mas de lo que diriacualquiera persona de una {17} comprension regular, aunque no sehubiese ocupado nunca en estudios filosóficos, se echa dever que la idea de lo infinito se halla en nuestro entendimiento,como un tipo constante, al cual no pueden llegar todas lasrepresentaciones finitas.

Conocemos las condiciones que se han dellenar, pero vemos la impotencia de llenarlas: cuando se nos quierepersuadir que esto se ha conseguido, reflexionamos sobre la idea delo infinito: y decimos: «nó; todavía nó;esto es contradictorio con la infinidad; esto no es infinito, sinofinito.»

Distinguimos perfectamente, entre la falta de lapercepcion del límite, y su no existencia: si se quiere queconfundamos estas dos cosas, respondemos: «nó; nodeben confundirse: hay mucha diferencia entre el no concebir unobjeto, y su no existencia: no se trata de que nosotros concibamosó nó el límite; sino de que exista ónó.» Por mas que se retire un límite,ocultándose por decirlo así á nuestros ojos,no nos engañamos: existe ó nó: si existe, noestá cumplida la condicion encerrada en el concepto de lainfinidad; el objeto no es infinito, sino finito; si no existe, hayinfinidad verdadera: la condicion está cumplida.

[24.] Mientras la idea de lo infinito es considerada en general,no se puede confundir nunca con la de lo finito; hay entre las dosuna línea divisoria, que no nos permite equivocarnos, puesque está tirada por el mismo principio de contradiccion: setrata de distinguir entre el y el {18} : con decir finito, se afirma ellímite, con decir infinito, se niega: no caben ideasmas claras y precisas.

CAPÍTULO IV.

EL LÍMITE.

[25.] Infinito parece expresar una negacion, puesto que equivaleá no finito. Pero las negaciones no siempre sonverdaderamente tales, aunque así lo indiquen las palabras:porque, si aquello que se niega es una negacion, el resultado esuna afirmacion. Por esto suele decirse que dos negaciones afirman.Si alguno dice: no ha llovido; y otro contesta que no es verdad,niega la negacion del otro, pues que negar la proposicion: no hallovido, es lo mismo que decir ha llovido, esto es, afirmar lalluvia. Así para conocer si la palabra infinito significauna verdadera negacion, es necesario saber qué se entiendepor la palabra finito.

[26.] Finito es lo que tiene límite. Límite es eltérmino mas allá del cual no hay nada del objetolimitado. Los límites de una línea son los puntos masallá de los cuales la línea no se extiende; ellímite de un número es el extremo mas allá delcual no se extiende el número; el límite {19} de losconocimientos de un hombre es el punto á donde llegan, y delcual no pasan.

Siendo el límite, negacion; negar ellímite es negar la negacion, y de consiguiente afirmar.

[27.] Por estos ejemplos se echa de ver que el límitetomado en el sentido vulgar, expresa una idea algo distinta dellímite definido por los matemáticos. Estos llamanlímite á toda expresion finita, infinita ónula, á la cual se puede acercar continuamente una cantidad,sin que jamás pueda alcanzarla. Así el valor 0/a esel límite del decremento de un quebrado, cuyo numerador esvariable x/a; porque, suponiendo que x va menguando continuamente,el quebrado se acercará á la expresion 0/a, sin quejamás pueda llegar á confundirse con ella, mientrasla cantidad x no se desvanezca del todo. Si suponemos (b+x)/a dondela x vaya decreciendo, la expresion se acercarácontinuamente á esta otra (b+0)/a = b/a, la cual seráel límite del quebrado. Suponiendo la expresion a/x y que xva menguando, nos acercaremos continuamente a la expresion a/0 =∞, valor infinito á que el quebrado no llegaránunca mientras x no se convierta en 0, lo que jamáspodrá verificarse, habiendo de ser x una verdadera cantidad.Con estos ejemplos se ve por qué los matemáticosadmiten límites finitos, infinitos, y nulos. Ademásse manifiesta tambien como en estos casos se toma la palabralímite, en un sentido {20} diferente del vulgar, que estambien el filosófico.

[28.] Límite pues, expresa una verdadera negacion; yasí la palabra finito ó limitado envuelve pornecesidad una negacion. No se limita lo que no es; porconsiguiente, lo finito no puede ser una negacion absoluta. Estaseria la nada, y la nada no se llama finita. Luego en la idea definito entran dos: 1.o ser,2.o negacion de otro ser. Unalínea de un pié envuelve dos cosas: el valor positivode un pié, y la negacion de todos los otros valores fueradel de un pié. Luego lo finito en cuanto finito, envuelveuna negacion referida á un ser. Si pudiésemosexpresar en abstracto esta idea usando del término finidad,así como tenemos el de infinidad, diríamos que lafinidad en sí, nada expresa, sino la negacion de serreferida á un ser.

[29.] De esto se infiere que la palabra infinito no es negativa;pues que con ella se niega una negacion; infinito es lo no finito,esto es lo que no tiene carencia de ser; y por consiguiente lo queposee todo el ser.

[30.] Tenemos pues alguna idea de lo infinito, y esta no es unapura negacion; sin embargo no se crea que con esto hemos llegado alúltimo término del análisis de la idea de loinfinito. Mucho nos falta que andar, y despues de largasinvestigaciones es dudoso que obtengamos un resultadosatisfactorio. {21}

CAPÍTULO V.

CONSIDERACIONES SOBRE LA APLICACION DE LA IDEA DE LO

INFINITOÁ LA CANTIDAD CONTINUA, Y Á LA DISCRETA EN CUANTO

SEEXPRESA EN SERIES.

[31.] Una de las propiedades características de la ideade lo infinito es su aplicacion á órdenes muydiferentes. Esto da lugar á importantes consideraciones quecontribuyen no poco á la aclaracion de dicha idea.

[32.] Desde el punto en que me encuentro, tiro una líneaen la direccion del norte, y es evidente que puedo prolongarlahasta lo infinito. Dicha línea es mayor que otra cualquierafinita; ninguna de estas puede ser tan larga como ella; porquesiendo finita, tendrá un valor determinado, por lo cual sila superpongo á la infinita, solo llegará hasta uncierto punto, y no pasará de allí. Parece pues queesta línea es infinita en toda la propiedad de la palabra;porque no habiendo medio entre lo finito é infinito, y nosiendo ella finita pues que acabamos de demostrar que es mayor quetodas las finitas, habrá de ser infinita.

La demostracion anterior parece que nada deja que desear; noobstante, hay tambien en contra de la infinidad de dichalínea una razon concluyente. Lo infinito carece delímites, y esta {22} línea los tiene, pues quepartiendo del punto desde el cual se la tira, hácia elnorte, no se extiende en la direccion del sud.

[33.] Esta línea es mayor que todas las finitas; pero esdable encontrar otra mayor que ella. Si la suponemos prolongada enla direccion del sud, la que resulte de ella mas la prolongacion,será mas larga; y si en la direccion del sud se la prolongahasta lo infinito, el resultado será una línea doblede la primera.

[34.] Con la prolongacion de una línea hasta lo infinitoen las dos direcciones opuestas, parece que resulta unalínea absolutamente infinita. A primera vista no se concibeque pueda haber un valor lineal mayor que el de una rectaprolongada hasta lo infinito, en direcciones opuestas; sin embargono es así; y considerando que al lado de esta recta se puedatirar otra, finita ó infinita, y que la suma de las dosformará un valor lineal mayor que la primera, tenemos queesta no era infinita; puesto que es dable encontrar otras mayoresque ella. Y como por otra parte es evidente que se pueden tirarinfinitas líneas prolongadas hasta lo infinito, resulta queninguna de ellas forma un valor lineal infinito, puesto que no esmas que una parte de la suma lineal que resulta del conjunto de laslíneas que se pueden tirar.

[35.] Reflexionando sobre esta contradiccion que pareceencontrarse en nuestras ideas, se descubre que la idea de infinitoes indeterminada, {23} y por tanto susceptible de aplicacionesdiferentes. Así en el caso que nos ocupa, no puede dudarsede que la recta prolongada hasta lo infinito tiene algunainfinidad, pues que es cierto que carece de límite en susrespectivas direcciones.

[36.] Este ejemplo hace conjeturar que la idea de infinito nonos representa nada absoluto; pues que aun en los objetos que masclaros se ofrecen á nuestro espíritu, cuales son losde la intuicion sensible, encontramos bajo un aspecto la infinidad,que por otro vemos contrariada.

[37.] Lo que hemos observado en los valores lineales, seextiende tambien á los numéricos expresados enseries. En las matemáticas se habla de las series infinitas;pero si bien se reflexiona no hay ninguna que merezca este nombre.Sea la serie a, b, c, d, e,.... se la llamará infinita, sisus términos continúan hasta lo infinito. No puedenegarse que hay infinidad bajo un aspecto, porque falta ellímite que ponga fin á la serie en un sentido; peroes evidente que el número de sus términos noserá jamás infinito, pues que hay otros mayores; cualseria por ejemplo, si al continuar la serie de izquierda áderecha la continuásemos al mismo tiempo de derecha áizquierda en esta forma

...., e, d, c, b | a, b, c, d, e,....

en cuyo caso es evidente que el número de lostérminos seria duplo del primero.

Luego las series llamadas infinitas no lo son ni pueden serlo,hablando con rigor. {24}

[38.] Pero lo curioso es que la infinidad no se encuentra en laserie, ni aun suponiéndola prolongada en direccionesopuestas; porque si á su lado imaginamos otra, es evidenteque la suma de los términos de las dos, será mayorque la de una de ellas; de donde resultará que ningunaserá infinita. Y como es evidente que sean cuales fueren lasseries, siempre se pueden imaginar otras, resulta demostrado que nopuede haber una serie infinita en el sentido que losmatemáticos toman la palabra serie; esto es, por unacontinuacion de términos; no excluyendo la posibilidad deotras continuaciones, á mas de la supuesta infinita.

[39.] Las dificultades contra la infinidad lineal, se extiendená la de superficie. Suponiendo un plano infinito, esevidente que se pueden tirar infinitos planos distintos delprimero, y que le corten en infinita variedad de ángulos: lasuma de estas superficies será mayor que una cualquiera deellas. Luego la prolongacion infinita de un plano en todasdirecciones, no constituye una verdadera superficie infinita.

[40.] Un sólido dilatado en todas direcciones pareceinfinito; pero si se reflexiona que en la idea matemáticadel sólido no entra la de impenetrabilidad; se veráque dentro de un sólido infinito, se puede colocar otro,cuyo volúmen sumado con el del primero, dará un valorduplo de este. Sea E

un espacio puro y vacío, queimaginaremos infinito; sea M, un mundo de igual {25} extensionque se coloca en él, y le llena; es evidente que E+M,será mayor que E. Luego aunque supongamos á Einfinito igual á ∞; tendremos que siendo M tambienigual á ∞, resultará E+M = ∞ + ∞ =2 ∞. Y

como este valor expresa el volúmen; el primerono será infinito, porque se puede duplicar. Si se prescindede la impenetrabilidad, la operacion puede repetirse hasta loinfinito; luego, el primer infinito, lejos de merecer este nombreparece una cantidad susceptible de incrementos infinitos.

CAPÍTULO VI.

ORÍGEN DE LA VAGUEDAD Y APARENTES CONTRADICCIONES EN

LAAPLICACION DE LA IDEA DE LO INFINITO.

[41.] Las dificultades que se ofrecen al aplicar la idea de lainfinidad, parecen probar que dicha idea ó no existe paranosotros, ó es muy confusa; pero estas mismas dificultadestambien indican por otra parte, que la poseemos, y muy perfecta.¿Por qué descubrimos que no son infinitos losnúmeros que á primera vista nos lo parecian?¿por qué negamos la infinidad de ciertas dimensiones,no obstante su infinita prolongacion en un sentido? porqueexaminando bien dichos objetos, hallamos que no corresponden altipo de la {26} infinidad. Si este tipo no existiera ennuestro entendimiento ¿cómo seria posible que nossirviésemos de él? ¿Cómopodríamos compararle los seres, si él nos fuesedesconocido? ¿Es posible saber cuándo una cosa llegaá un extremo, si no tenemos idea del extremo? Estoequivaldria á comparar sin punto de comparacion, es decir,á ejercer un acto contradictorio.

[42.] A pesar de estas razones que parecen concluyentes en favorde la existencia de la idea de lo infinito, si interrogamos nuestrointerior no podemos negar que experimentamos cierta vaguedad,cierta confusion, que inspira vehementes dudas sobre la realidad deesta idea. ¿Qué se le ofrece á nuestroespíritu al pensar en lo infinito? la imaginacion abandonadaá sí misma, extiende el espacio, agranda lasdimensiones de cuanto le ocurre, multiplica indefinidamente losnúmeros, pero sin ofrecer á la inteligencia nada conel carácter de infinito. Si prescindimos de la imaginacion,y nos referimos al entendimiento puro, aunque descubrimos enél un tipo para juzgar de la infinidad ó no infinidadde los objetos que se le presentan, al reflexionar sobre el tipo ensí, perdemos la claridad que antes nos iluminaba, y hastanos quedamos perplejos sobre la existencia del mismo.

[43.] ¿Negaremos la existencia de dicha idea?¿abandonaremos el intento de explicarla? creo que no debemoshacer ni uno ni otro, que es preciso admitirla, que no es imposibleexplicarla, {27} y que hasta se puede señalar larazon de la oscuridad que en ella encontramos.

[44.] Ante todo conviene advertir que una de las causas de laconfusion en que andan envueltas las discusiones sobre la idea delo infinito, nace de que no se hace distincion entre elconocimiento intuitivo y el abstracto (Lib. V, cap, XI). Si sehubiese atendido á esta distincion, se hubieran evitadomuchas dificultades. Con decir que la idea de lo infinito no esintuitiva sino abstracta, se prepara la solucion á lasprincipales objeciones que contra ella se dirigen.

[45.] La idea de infinidad no es para nosotros intuitiva: estoes, no ofrece á nuestro entendimiento un objeto infinito;esa intuicion no puede verificarse mientras no veamos la mismaesencia de Dios, como sucederá en la otra vida.

[46.] Si tuviésemos ahora la intuicion de un objetoinfinito, veríamos sus perfecciones infinitas, tales comoson, con sus propios caractéres; ó mas bien,veríamos como todas las perfecciones, dispersas en los sereslimitados, se reunen en una sola perfeccion infinita. Cuandoquisiésemos referir la idea de lo infinito á objetosdeterminados, por ejemplo á la extension, veríamosque estos objetos se hallan en contradiccion con la idea; no nosseria dable modificarla de varias maneras, aplicarla primero en unsentido y luego en otro muy diferente: la idea única,simplicísima se referiria siempre á un objetoúnico, simplicísimo; y este nó indeterminado,nó vago, {28} como ahora, sino con la determinacion deuna existencia necesaria y de una perfeccion infinita. El serinfinito nos seria dado en intuicion, como se nos dan los hechos denuestra propia conciencia: el conocimiento que de éltendríamos seria de un objeto eminentemente incomunicablecomo predicado, á cualquier órden de cosas finitas; ycuando se nos preguntase si la idea de esa infinidad es aplicableá un número ó á una extension,veríamos una contradiccion tan manifiesta como si nospropusiéramos identificar un acto de nuestra conciencia conlos objetos externos.

[47.] La indeterminacion que nos ofrece la idea de infinidad; lafacilidad que experimentamos para modificarla de varias maneras yaplicarla á objetos diversos, en sentidos muy diferentes;nos está indicando que no es intuitiva sino abstractaé indeterminada: que es uno de aquellos conceptos generalesque nos sirven para tener algun conocimiento de las cosas cuyaintuicion no se nos ha concedido.

Esta observacion hasta para señalar el orígen dela vaguedad que experimentamos en la idea de lo infinito. Como losconceptos indeterminados, por lo mismo que son indeterminados, nose refieren á ningun objeto en particular, ni áninguna propiedad, que por sí sola sea concebida comorealizable, no encierran aquellas determinaciones que fijan de unamanera absoluta nuestro conocimiento. La misma indeterminacion conque ofrecen alguna propiedad de los seres, {29} da motivoá la diversidad de las aplicaciones, segun son diversas laspropiedades particulares que se combinan con la general. Si se nosda un triángulo rectángulo, conociendo la medida detodas sus líneas y de sus ángulos agudos, ladeterminacion de la idea evita la vaguedad intelectual, y nopermite la aplicacion á diversos casos de lo que de suyo esdeterminado y fijo; pero si se nos da un triángulorectángulo en general, sin determinársenos el valorde sus líneas y de sus ángulos agudos, lasaplicaciones pueden ser infinitas. A medida que la idea deltriángulo vaya siendo mas general é indeterminada, seaumentará la variedad de sus aplicaciones.

[48.] Las ideas indeterminadas, para representar algo, necesitanuna propiedad á la cual se apliquen, y que sea como lacondicion bajo la cual se realicen ó se puedan realizar;hasta que dicha aplicacion se verifica, son formas intelectualespuras, á las cuales no se puede pedir la representacion denada determinado. Y no quiero decir con esto que dichas ideas seanconceptos vacíos, é inaplicables fuera delórden sensible, como pretende Kant cuya opinion llevo yaimpugnada (Lib. V, cap. XIV, XV y XVI); sino queconcediéndoles un valor universal, les niego el que porsí solos tengan un valor representativo de algo realizable,sin mas propiedad que lo que ellos expresan. Ateniéndonos almismo ejemplo podemos observar, que la idea pura detriángulo es irrealizable; porque todo triángulo real, {30} contendrá algo mas que locontenido en la idea; pues que será rectánguloú oblicuángulo, etc. etc. de todo lo cual prescindela idea pura. Si las notas encerradas en el concepto van siendo masindeterminadas, la indeterminacion del objeto será mayor; ypor consiguiente mas vago será lo que se ofrezca alentendimiento, y mas numerosas y variadas las aplicaciones que sepodrán hacer de la idea. Así sucede en las de ser, noser, límite, y otras semejantes.

CAPÍTULO VII.

EXPLICACION FUNDAMENTAL DE LA IDEA ABSTRACTA DE

LOINFINITO.

[49.] Supuesto que nuestra idea de lo infinito no es intuitiva,sino abstracta, veamos cómo se puede explicar su verdaderanaturaleza.

Tenemos idea del ser y de su opuesto el no ser: consideradas ensí mismas, son ideas generales puras, sumamenteindeterminadas, aplicables á cuanto se somete ánuestra experiencia.

De todo ser limitado podemos afirmar y negar algo: afirmar loque es; negar lo que no es; el límite como tal, no seconcibe sino cuando se niega una cosa de otra.

[50.] Nuestro ser nos ofrece una actividad nunca {31} agotada,pero siempre limitada, por la falta ó la resistencia de losobjetos; el mundo externo es un conjunto de seres que se nos ofrececon mucha variedad de limitaciones.

Luego la experiencia tanto interna como externa nos da idea delo finito, esto es, de un ser que envuelve algun no ser: el brutosiente, mas no entiende: es sensitivo, hé aquíel ser; no es inteligente, hé aquí ellímite. El hombre es sensitivo é inteligente; ellímite del bruto no es el del hombre. Entre los seresinteligentes, el uno entiende mas cosas que otro; el límitede este no es el límite de aquel.

[51.] Encontrando límite en la experiencia interna yexterna, es evidente que podemos formarnos la idea general delímite, esto es, de una negacion aplicada á unobjeto.

[52.] La misma experiencia nos enseña que loslímites de unas cosas no son los de otras; que tallímite aplicado á un objeto debe ser negado de otro;comparando los seres entre sí, nos hallamos frecuentementeen el caso de negar ciertos límites. Como nuestroentendimiento tiene la fuerza de generalizar, es evidente que lanegacion de ciertos límites que encontramos aplicableá muchos objetos, podemos concebirla en general, teniendo unconcepto indeterminado en que se incluyan estas dos ideas negacion y límite.

[53.] No veo que se pueda objetar nada á la posibilidad yexistencia de este concepto: sin embargo como necesito de estehecho para explicar {32} la idea de infinidad, voy árobustecerle con algunas observaciones.

Tenemos alguna idea de la negacion en general; este es un hechoprimitivo de nuestro espíritu; sin él no son posibleslos juicios negativos, ni nos seria dado conocer el principio decontradiccion: es imposible que una cosa sea y no seaá un mismo tiempo: no sea, hé aquí lanegacion; luego es indudable que la concebimos. Este concepto esgeneral, pues no encierra ninguna determinacion: se habla del noser sin referirse á ningun objeto particular, ni siquieraá una especie ó género que contenga algunadeterminacion; luego el concepto de la negacion es general yabsolutamente indeterminado.

[54.] Tenemos idea de límite; porque como hemos visto ya,es una negacion aplicada á un ser.

Tenemos además laidea de negacion de límite, porque así como leconcebimos aplicado ó aplicable, podemos concebirle y leconcebimos en efecto, no aplicado ó no aplicable. A cadapaso negamos límites determinados: generalizando esta idea,resulta la negacion general de límite en general.

[55.] Con las observaciones que preceden podemos señalarlo que se contiene en la idea de lo infinito. En mi juicio estaidea es un concepto general que envuelve los dos siguientes:1.º ser en general; 2.º negacion de límite,tambien en general. La reunion de estos dos conceptos constituye laidea abstracta de lo infinito. {33}

[56.] El concepto de límite generalizado y negado, nos daalguna idea de la infinidad en abstracto, pero nó idea deuna cosa infinita. Sin conocer intuitivamente un objeto infinito, ysolo alcanzando á formarnos idea muy imperfecta deél, podemos hablar de la infinidad, sin caer encontradiccion, determinando los casos en que se halla aplicadaá un ser, ó á un órden de seres, realó posible. Si bien se observa, el hombre tiene muchas ideasde este género vago; pero que no obstante le sirven paracuanto necesita. Hagámoslo sensible con algunasaplicaciones.

[57.] Se le muestran á un ignorante algunos sabios, y sele asegura que uno entre ellos sabe mas que todos los otros juntos.El pobre ignorante no tiene ninguna idea de lo que sabe el que masni el que menos, ni del grado de la ciencia, ni de la cienciamisma, pero tiene en general las ideas de grado, de mas y de menos,así como la de conocimiento; pues bien, esto le basta parahablar sin contradecirse, ni confundirse, de la mayor ciencia deluno y de la menor ciencia de los otros, y aun para resolver conacierto las cuestiones que se le ofrezcan sobre la ciencia deaquellos individuos, en cuanto se hallan contenidas en la ideageneral de que la ciencia de uno es mayor que la de todos los otrosjuntos.

Otro ejemplo. Un dependiente de un establecimiento donde sehallen reunidos los mas bellos producto del arte, puede hablar detodos ellos sin confundirse ni contradecirse, aun cuando sea{34}

incapaz de conocer su mérito,é ignore absolutamente las circunstancias que constituyen labelleza de los objetos. Le bastará tener idea de perfeccionó belleza en general, y vincular con ciertos signosarbitrarios los grados de perfeccion ó belleza de losobjetos, para que pueda designarlos á los concurrentes, yponderar la mayor habilidad de un artista, la menor felicidad deotro, el atinado acierto de aquel, los desaciertos de este, elmayor valor de las obras del primero, la inferioridad de las delsegundo, y formar otros pensamientos por este tenor que áprimera vista pudieran hacernos creer que el dependiente es unartista consumado, ó cuando menos un aficionado de grandeinteligencia y de gusto exquisito.

[58.] Fácil seria manifestar con otros ejemplos lafecundidad de ciertas ideas generales, y cómo se prestaná innumerables combinaciones, sin que por ellas conciba elentendimiento nada determinado. Hé aquí precisamentelo que nos sucede con la idea de lo infinito: en vano nospreguntamos qué es lo que corresponde á ella ennuestro interior: el concepto de ser en general y de negacion delímite, nada nos presentan fijo, sino ciertas condicionesabstractas á que vamos sometiendo los objetos, ámedida que se ofrecen á nuestra intuicion, ó que porlo menos se nos presentan con algunas propiedades que loscaractericen, permitiéndonos formar una idea menos vaga dela negacion del límite. {35}

CAPÍTULO VIII.

SE COMPRUEBA CON APLICACIONES Á LA EXTENSION,

LADEFINICION DE LA INFINIDAD.

[59.] Hemos explicado la idea de infinidad en general, por losconceptos indeterminados de ser y negacion de límite. Paracerciorarnos de que la explicacion es fundada, y de que se hanseñalado los caractéres constitutivos del concepto,veamos si sus aplicaciones á objetos determinadoscorresponden á lo que se ha establecido en general.

Si la idea de infinidad consiste en lo que se ha dicho, severificará que será susceptible de aplicarse átodos los objetos de la intuicion sensible ó delentendimiento puro, obteniéndose los resultados que debenobtenerse, inclusas las anomalías que anteriormente se hanhecho notar (Cap. V).

[60.] Las anomalías, ó mas bien contradicciones,que parecen encontrarse en las aplicaciones de la idea deinfinidad, ofreciéndose como infinita una cosa que luego sedescubre no serlo, se originan de que se aplica dicha idea bajocondiciones diferentes. Esta variedad no seria posible, si la idearepresentase algo determinado; pero como solo contiene la negacionde límite en general, unida á un ser tambien engeneral, {36} resulta que esta negacion la sometemos encada caso á condiciones particulares, y así sucedeque cuando pasamos á otras condiciones, la idea general nopuede darnos el mismo resultado.

[61.] Una línea tirada desde el punto en que nosencontramos, en direccion del norte y prolongada hasta lo infinito,nos ha resultado infinita y no infinita (Cap. V). Estacontradiccion solo es aparente: en la realidad no hay mas que eldiferente resultado á que debe conducir la idea general porla condicion bajo la que se le aplica.

Cuando consideramos una línea prolongada hasta loinfinito en la direccion del norte, no aplicamos la idea deinfinito á un valor lineal en abstracto, sino á unarecta que parte de un punto y prolongada solo en una direccion: elresultado es el que debe ser; se afirma la negacion dellímite bajo una condicion; el infinito resulta sujetoá la misma condicion. Se dirá que no hay medio entreel sí y el nó, y por consiguiente entre lo infinito yno infinito; pero no es difícil soltar la dificultadobservando que el sí y el nó para sercontradictorios, se han de referir á una misma cosa, lo queno sucede cuando se han cambiado las condiciones del objeto.

[62.] Si en vez de suponer una prolongacion sola,hubiésemos tratado de aplicar la negacion de límiteá una recta en general, es evidente que debiéramoshaberla prolongado en los dos sentidos opuestos; entonces nosresultaba un nuevo infinito con arreglo á la nuevacondicion. {37}

Ya hemos visto (Cap. V) que ni aun en este caso teníamosun valor lineal infinito en todo rigor; pues que esta recta soloformaba parte de la suma de otras que se podian imaginar.¿Qué diremos pues de ella? ¿seráinfinita ó nó? ambas cosas se pueden decir haciendola distincion debida. Será infinita, esto es, tendremos laidea de infinidad ó negacion de límite, aplicada contodo rigor á una linea recta sola; pero si en vez detratar de una recta sola se trata de un valor lineal,sin ninguna condicion, la línea supuesta no seráinfinita; la negacion de límite no está aplicada bajoaquella condicion; el resultado pues será diferente,dejará de ser infinito.

[63.] Considerando dos líneas solas se puede hacer notarla misma anomalía. Supóngase una recta prolongada enlos dos sentidos hasta lo infinito, y descríbase á sulado una curva que en undulaciones continuas se vaya prolongandohasta lo infinito en direccion paralela á la recta.Serán ambas infinitas segun como se las considere. Si seatiende solo á su direccion, prescindiendo del valor linealque encierran, ambas son infinitas; pero si se atiende áeste, la curva es mas larga que la recta porque es evidente quetomando una parte de la curva correspondiente á una parte dela recta y extendiendo ó rectificando la de la curva,resultará mayor que la de la recta; y como esto se puedehacer en toda la prolongacion de las líneas tendremos que elvalor lineal de la curva será mayor que el de la{38} recta en proporcion á la ley desus undulaciones.

[64.] Por esta doctrina se echa de ver como la idea de infinidadpuede aplicarse bajo diferentes condiciones, y producir diferentesresultados, sin ninguna contradiccion. Lo que es infinito bajo unaspecto, no lo es bajo otro; y de aquí procede lo que sellama órdenes de infinitos, y que tanto figuran enlas matemáticas; pero repito que estas contradicciones noson susceptibles de explicacion si se atribuye á la idea deinfinito un valor absoluto y no se le considera como larepresentacion abstracta de negacion de límite.

[65.] ¿Es posible concebir en una línea rectaó curva, una longitud infinita absolutamente hablando,ó sea un valor lineal, al cual se aplique absolutamente lanegacion de límite? creo que nó: porque sea cualfuere la línea que consideremos, siempre se podrántirar otras cuyo valor sumado con el de la primera, serámayor que el de esta sola. Hé aquí un caso en quehallamos contradiccion entre la negacion de límite y lacondicion á la cual se la quiere someter. Se exige un valorlineal al cual se aplique absolutamente la negacion delímite; y por otra parte se exige que este valor lineal sepresente en una línea determinada, la cual por el hecho deser determinada excluye la negacion absoluta de límite: seponen en el problema datos contradictorios, el resultado ha de serpues una contradiccion.

[66.] ¿Qué deberemos suponer para concebir unvalor lineal absolutamente infinito? bastará {39}

no suponerninguna condicion que excluya la negacion absoluta delímite. Aquí es menester distinguir entre el conceptopuro, y la intuicion sensible en que se exprese. El concepto de unvalor lineal infinito existe, desde el momento que unimos las dosideas generales: valor lineal y negacion de límite. Laintuicion sensible en que pueda representarse dicho concepto no estan fácil excogitarla, ni aun en general. Para llegará ella en algun modo, es preciso que imaginemos un espaciosin ningun límite; y que entonces considerando en generaltodas las líneas que en él se pueden tirar rectasó curvas, en todas direcciones, y bajo todas las condicionesposibles, tomemos la suma de todos estos valores lineales: elresultado será un valor lineal absolutamente infinito,porque le habremos aplicado la negacion de límite sinninguna restriccion.

[67.] Del mismo modo podremos obtener un valor de superficieinfinito; porque es evidente que se le puede aplicar todo cuantohemos dicho de los valores lineales.

[68.] Es de notar que en todos estos casos aplicamos la negacionde límite á la extension consideradaúnicamente en algunas de sus dimensiones. Si queremosobtener una extension infinita absoluta, es necesario que noprescindamos de ninguna dimension; por manera que el infinitoabsoluto de este órden es la extension en todas susdimensiones, negando absolutamente el límite. Pero tambienes de notar que aun para {40} obtener un valor de líneasó de superficies, absolutamente infinito, necesitamos yapresuponer el valor de extension absolutamente infinito; puesá esto equivale el suponer el espacio infinito en que sepuedan tirar las líneas y las superficies en todas lasdirecciones, y bajo todas las condiciones posibles.

CAPÍTULO IX.

CONCEPTO DE UN NÚMERO INFINITO.

[69.] ¿Concebimos nosotros un número infinito? Poruna parte parece que nó, pues que dudamos de su posibilidad;duda que no existiria, si tuviéramos su idea. Por otro ladoparece que sí, pues que conocemos desde luego cuándoun número no es infinito; lo que no sucederia, si notuviésemos idea de número infinito.

Lo que hemos demostrado con respecto á la infinidad delas series (Cap. V), parece indicar que la idea del númeroinfinito es una ilusion, puesto que números quehabíamos creido infinitos, se nos presentan luego como noinfinitos.

Yo creo que esta cuestion se puede resolver por los mismosprincipios que las del capítulo precedente. No veo ningunadificultad en admitir {41} la idea de un número infinito, nique de ella resulte contradiccion de ninguna clase.

[70]. Número es una coleccion de unidades; esta ideanosotros la tenemos en toda su generalidad; para concebir elnúmero, no necesitamos saber ni de qué clase son nicuántas. La idea de número en general prescindeabsolutamente de semejantes determinaciones. Es evidente que seacual fuere el número determinado que imaginemos, siemprepodemos concebir otro mayor; aun cuando al número le podemosseñalar un límite, este podemos retirarleindefinidamente, de suerte que el límite de uno no sea ellímite de otro. Unimos pues á la idea denúmero la idea de límite y la de negacion de ciertolímite; luego si además unimos á la idea denúmero en general, la de negacion de todo límite engeneral, formaremos idea de un número infinito.

[71]. ¿Qué nos representará esta idea? Nadadeterminado: es un concepto enteramente abstracto, formado de dosigualmente abstractos: número y negacion de límite.No le corresponde ningun objeto determinado; es obra de nuestroentendimiento referida á objetos en general, sindeterminacion de ninguna especie. Ahora podremos resolver lasdificultades arriba indicadas.

[72]. ¿Por qué una serie de términos se nosofrece como infinita, y luego bien examinada, vemos que no reunelos caractéres de infinidad? Porque en el primer casoaplicamos la negacion {42} de límite bajo una condicion deque nos desentendemos en el segundo.

Tomemos una serie

a, b, c, d, e, . . . . . . . . . . . . . .

Es evidente que la podemos continuar hasta lo infinito, yconcebir que se niega todo límite á su prolongacion:el número de términos es infinito en este sentido,porque la idea de negacion de límite está realmenteaplicada á la serie. Cuando preguntamos si el númerode los términos es infinito absolutamente, prescindimos dela condicion con que habíamos unido la negacion delímite: lo que era pues infinito en un caso, no puede serloen otro: no hay una verdadera contradiccion; porque el sí yel nó se refieren á suposiciones diferentes.

[73.] Tomemos una línea y midámosla porpiés. Prolongando esta línea se multiplicaráel número de piés; y en general podemos concebirnegado el límite á dicha multiplicacion. Entonces elnúmero de piés resultará infinito.Considerando luego que el pié tiene doce pulgadas, si en vezde tomar por unidad el pié tomamos la pulgada, el resultadoserá un número doce veces mayor: héaquí dos números infinitos, mayores el uno que elotro. ¿Hay en esto alguna contradiccion? nó porcierto: lo que hay es una diferente combinacion de ideas. En elprimer caso, la idea de negacion de límite estabasubordinada á una condicion: la division de la líneaen piés; en el segundo, introducimos una condiciondiferente: {43} la division de la línea enpulgadas.

[74.] Pero se nos replicará tal vez, estos númerosconsiderados en sí mismos, prescindiendo de que se refieraná piés ó á pulgadas, ¿soniguales ó nó? y en ambos casos ¿son infinitosó nó? la objecion se desvanece haciendo notar laequivocacion en que se funda. Si se prescinde enteramente de todarelacion á divisiones determinadas, se considera elnúmero en general, en cuyo supuesto no hay dos casos sinouno; solo entonces no puede haber relacion de mayor y menor, porquesolo se tiene el concepto del número en general combinadocon la idea de negacion de límite tambien en general: elresultado pues, será el número infinito en toda suabstraccion (70).

La dificultad estriba en una contradiccion, que á primeravista no se nota; se quiere prescindir de condiciones particulares,para saber si los números en sí, son infinitosó nó; y no se quiere prescindir de ellas, pues soloatendiendo á las mismas, tiene sentido la objecion, quesiempre supone la division en varias especies de unidades. Cuandose habla pues de estos números, y al mismo tiempo sepretende considerarlos en sí, se incurre en unacontradiccion, tomándolos á un mismo tiempo con lascondiciones particulares y sin ellas.

[75.] Inferiremos de lo dicho que el concepto de númeroinfinito considerado en su mayor abstraccion, prescindiendo de lanaturaleza y relaciones de las cosas numeradas, no escontradictorio, {44} pues que no encierra mas que las dosideas de número, ó sea conjunto de seres, y absolutanegacion de límite; pero esto no es bastante para afirmarque el número infinito sea realizable. El númeroinfinito no puede ser actual, sin que haya un conjunto de seresinfinito; y estos seres realizados, no pueden ser seres abstractos,que no encierren nada mas que ser, sino que han de tener suspropiedades características, y han de estar sujetos álas condiciones que estas les impongan. Como en el concepto generalse prescinde absolutamente de dichas condiciones, no puededescubrirse por el concepto solo, la contradiccion que en ellaspueda haber; de donde resulta que no encerrándose en elconcepto ninguna contradiccion, se puede tropezar con ella tanpronto como se quiera realizar lo que está contenido en elmismo. Así podrá suceder que sin ser contradictorioel concepto general é indeterminado, lo sea su realizacion:á la manera que se conciben perfectamente ciertasteorías mecánicas, que sin embargo no puedenreducirse á la práctica, porque no lo consiente lamateria á que se debieran aplicar. Los seres finitos son,por decirlo así, la materia en que se han de realizar losconceptos metafísicos é indeterminados: laposibilidad de estos no prueba de una manera absoluta laposibilidad de aquellos. La realidad puede traer consigo talesdeterminaciones que envuelvan una contradiccion que en el conceptogeneral se hallaba en estado latente, {45} y que alllegar á la realidad se pone de manifiesto.

CAPÍTULO X.

CONCEPTO DE LA EXTENSION INFINITA.

[76.] ¿Es concebible la extension infinita? Este conceptoincluye dos ideas: la de extension y la de negacion absoluta delímite. La de extension es á su vez un conceptogeneral, referido á esa intuicion, que sea lo que fuere ensí y en su objeto, representa la extension ó elconjunto de las tres dimensiones, cuya forma pura es el espacio. Esevidente que nosotros podemos reunir en un concepto estas dosideas: extension en general, y negacion de límite; y siá esto se llama idea de una extension infinita, es claro queposeemos dicha idea. Salta á los ojos que en este conceptode la extension infinita, se prescinde de todas las condiciones derealidad; y que no sabemos todavía, si en la naturaleza delos seres extensos, se hallaria algo, que se opusiese á laabsoluta infinidad de su extension; y por consiguiente ignoramos,si hay aquí alguna contradiccion latente, que no podemosconocer por solo el concepto general.

[77.] Nótese bien que aquí hablo de la idea, y{46} nó de la representacion sensiblede la extension; porque si bien tengo por posible aun paranosotros, el concepto de una extension infinita, no pienso lo mismode su representacion sensible. Esta podemos dilatarlaindefinidamente, mas nó hacerla infinita.

A mas de que la conciencia nos atestigua dicha imposibilidad, larazon la demuestra. En efecto: las representaciones sensiblesinternas, no son mas que una repeticion de las externas; ócuando menos están formadas de los elementos que estossuministran. La vista y el tacto son los dos sentidos que nosproducen representacion de extension, y es evidente que ambosnecesitan un límite: al tacto no se le ofrece sino loinmediato; la vista no ve, sin un límite que le envie losrayos luminosos. Las representaciones sensibles internas, sean lasque fueren, no pueden perder ese carácter de limitacion:dilatarán el objeto cuanto se quiera; retirarán ellímite, mas no le destruirán, so pena de destruirseá sí propias. Luego es imposible para nosotros, ypara todo ser sensible, la imaginacion de una extensioninfinita.

[78.] Contra la infinidad de la extension, en cuanto nos lapodemos representar en un volúmen sin límites, hepropuesto mas arriba [40] una dificultad fundada en que como laidea de impenetrabilidad no entra en el concepto de sólido,dentro de un infinito, se podrá colocar otro, y asísucesivamente; por manera que la {47} penetrabilidad daorígen á otra serie que tampoco tendrá fin.Pero esta dificultad que es concluyente si se trata del concepto desólidos que encierra algo mas que la pura idea de extension,no lo es cuando nos limitamos á esta idea: porque entonces,la extension implica necesariamente el que unas partes estén fuera de otras, pues que sin este fuera, no esposible concebirla. Es cierto que dentro de una parte del espaciopuede situarse un cuerpo; y que despojando á este de laimpenetrabilidad, podemos todavía colocar otro en el mismolugar, y así hasta lo infinito; pero en tal caso concebimosya algo mas que extension pura; unimos algo mas, siquiera engeneral é indeterminadamente, á la idea de cosassituadas; pues de otro modo, no distinguiríamos entre elespacio, representante de la extension pura, y los sólidosque en él se colocasen; y aun estos mismos no losdistinguiríamos entre sí, á no reconocer enellos alguna diferencia, siquiera en general éindeterminadamente.

[79.] Parece pues mas probable que la idea pura de la extensioninfinita está en la de un volúmen infinito; la cualno es otra que la del espacio. Lo demás que puedeintroducirse en la idea es un elemento extraño á lamisma; pues á la extension pura añade algo que no lepertenece, como son las diferencias entre los seres extensos,aunque concebidas con indeterminacion. {48}

CAPÍTULO XI.

SOBRE LA POSIBILIDAD DE LA EXTENSION INFINITA.

[80.] ¿Qué pensaremos de la posibilidad de esasinfinidades que nosotros concebimos?

examinémoslo.

¿Es posible una extension infinita? no se descubreninguna repugnancia: la idea de extension y la de negacion de todolímite, no se excluyen, por lo menos segun nuestro modo deconcebir; mas bien tenemos dificultad en concebir el límiteabsoluto de la extension que no en concebirla ilimitada: masallá de todo término imaginamos espacios sin fin.

[81.] Considerando la cuestion con respecto á laomnipotencia divina, tampoco se descubre ninguna imposibilidad enla existencia de una extension sin límites. Mas alláde toda extension puede Dios criar otra extension; si suponemos quehaya querido aplicar su fuerza creadora á toda la extensionposible, habrá criado una extension infinita.

[82.] Ofrécese aquí una dificultad. Si Dioshubiese criado una extension infinita, no podria criar otraextension; luego su poder estaria agotado, luego no seriainfinito.

Esta dificultad nace de que se entiende en un sentido falso elpoder infinito. Cuando se dice {49}

que Dios lo puede todo, nose quiere significar que pueda hacer cosas contradictorias; laomnipotencia no es un atributo absurdo, como lo seria si serefiriese á cosas absurdas. Una extension absolutamenteinfinita es contradictoria con otra extension distinta; pues por lomismo que es infinita absolutamente, contiene todas las extensionesposibles. Si la suponemos existente, no será posible otradistinta de ella; al afirmar que Dios no podria producir otra, nose limita su omnipotencia, solo se dice que no puede hacer una cosaabsurda.

[83.] Aclaremos mas la solucion anterior. La inteligencia deDios es infinita, y no puede entender mas que lo que ahoraentiende: todo progreso supondria imperfeccion, pues que envolveriamudanza de una inteligencia menor á una inteligencia mayor.Ahora bien; si se dice: Dios no puede entender mas de lo queentiende en la actualidad, ¿se limita su inteligencia?

escierto que nó: pues que no puede entender mas porqueentiende todo lo real y todo lo posible, y no es dable concebir sincontradiccion que pueda entender mas que lo que entiende en laactualidad; esto no limita la inteligencia, antes afirma suinfinidad; porque no es suceptible de perfeccion por lo mismo quees infinita. Con este ejemplo se comprende el sentido de laexpresion no puede, aplicada á Dios: lo que se niega,no es una perfeccion, sino un absurdo: por cuya razon observa muyoportunamente Santo Tomás, que mas {50} bien sedebiera decir que la cosa no puede ser hecha, que no que Dios nopuede hacerla.

CAPÍTULO XII.

SOLUCION DE VARIAS DIFICULTADES CONTRA LA POSIBILIDAD DE

UNAEXTENSION INFINITA.

[84.] Las discusiones sobre la posibilidad de una extensioninfinita datan de muy antiguo; y no puede menos de ser así,supuesto que el grandioso espectáculo del universo, y losespacios que imaginamos mas allá de todo confin, debensuscitar naturalmente las cuestiones que siguen.

¿Existealgun límite de tamaña inmensidad? ¿Puedeexistir? ¿Es posible que no exista?

Algunos filósofos opinan en contra de la posibilidad deuna extension infinita; examinemos las razones en que sefundan.

[85.] La extension es propiedad de una substancia finita, y loque pertenece á una cosa finita no puede ser infinito; puesno se concibe cómo la infinidad de ninguna clase puede caberen un ser finito. Este argumento no es concluyente. Es verdad quela substancia extensa es finita, en el sentido de que no tiene lainfinidad absoluta, cual se concibe en el Ser Supremo; mas deaquí no se infiere que no pueda ser infinita {51} bajociertos aspectos. Con decir que ninguna substancia finita puedetener ninguna propiedad infinita, porque las propiedades dimanan dela substancia, y de lo finito no puede salir lo infinito, tampocose consolida la razon. Para que este argumento valiese seriamenester probar que todas las propiedades de un ser dimanan de susubstancia: las figuras de los cuerpos son propiedades accidentalesde los mismos, y sin embargo muchas de ellas no tienen ningunarelacion con la substancia, son meros accidentes que aparecenó desaparecen, nó por la fuerza interior de lasubstancia, sino por la accion de una causa externa.

Nosotros vemosla extension en los cuerpos; pero no conociendo la esencia de lasubstancia corpórea, no podemos decir hasta qué puntoestán ligadas dicha propiedad y la substancia, y si aquelladimana de esta, ó es únicamente una cosa que se le hadado y que se le puede quitar sin alteracion esencial (V. Lib. III,cap. XIX, XXI, XXIV, XXV, XXVI, XXVII, XXVIII).

Además: al decir que de lo finito no puede salir loinfinito, no negamos que de una substancia finita en su esencia,pueda salir cierta propiedad infinita. En efecto: por lo mismo queen tal caso admitiríamos la propiedad infinita,podríamos admitir tambien todo lo que fuese necesario en lasubstancia para que en ella se radicase dicha propiedad, con talque se salvase el carácter de finito que debe siempre tenertoda criatura. Cuando se niega de estas el que sean infinitas,{52} y que puedan serlo, se habla de lainfinidad esencial, de la que implica necesidad de ser éindependencia absoluta bajo todos respectos; mas no se trata de unainfinidad relativa, cual lo seria la de extension.

Empezar por sostener que la extension infinita es imposibleporque toda propiedad de la substancia finita es finita; equivaleá suponer lo mismo que se disputa; pues precisamente lacuestion está en si una de estas propiedades, la extension,puede ser infinita. Para afirmar que ninguna lo puede ser, esnecesario probar que lo mismo se verifica de la extension: pues deotro modo la proposicion negativa: «ninguna propiedad de lasubstancia finita es infinita» no podria establecerse. Pordonde se ve que el argumento que combatimos, implica en algun modouna peticion de principio, cuando se funda en una proposiciongeneral, de la que no podemos estar ciertos antes de tener resueltala cuestion presente.

[86.] La extension infinita debiera ser la mayor de todas, y nohay ninguna que pueda tener este carácter. Dada unacualquiera, Dios puede quitarle una cierta cantidad, por ejemplouna vara; y en este caso la extension infinita se habráconvertido en finita, porque será menor que la primera; ycomo la diferencia entre las dos será de sola una vara,resultará que ni aun la primera habrá sido infinita;pues entre lo finito y lo infinito, es imposible que no haya masdiferencia que de una vara. {53}

Esta dificultad merece una contestacion bien meditada; porqueá primera vista parece tan concluyente, que no se concibe laposibilidad de una solucion satisfactoria.

La proposicion de que la diferencia entre lo finito y loinfinito no puede ser finita, no es de todo punto exacta, y dalugar á diversas consideraciones. Ante todo es necesarioadvertir que la diferencia entre dos cantidades positivas, finitasó infinitas, no puede ser absolutamente infinita en elsentido del minuendo. Diferencia es el exceso que va de unacantidad á otra, y esto entraña por necesidad algunlímite; pues por lo mismo que se trata solo de exceso, seentiende que no entra en la diferencia la cantidad excedida.Llamando D la diferencia, A la cantidad mayor, y a la menor, digoque D en ningun caso puede ser infinita. Por el supuesto tenemos:D=A-a; luego D+a=A; luego para que llegue D al valor de A, esnecesario añadirle a; luego D no puede ser infinita. Sisuponemos A infinita haciendo A=∞; tendremos:D=A-a=∞-a; lo que nos da: D+a=∞.

Luego para que D senos haga infinita necesita que le añadamos a; y nuncaserá D=∞, sino en el caso de a=0; pero entonces noserá una verdadera diferencia; pues la ecuacion D=A-a, seconvertirá en D=A-0=A; y por tanto la diferencia noserá real sino figurada.

Se sigue de lo dicho que ninguna diferencia entre cantidadespositivas puede ser infinita absolutamente; {54} y que sien algun modo lo es, no puede serlo en el sentido del minuendo, yque en tal caso el reunir estas dos ideas de diferencia éinfinito, es incurrir en una contradiccion[1].

La diferencia entre una cantidad infinita, y otra finita dada,no podrá ser otra finita dada, sino que será infinitaen algun sentido. Supongamos una línea infinita, y otrafinita de un valor dado; la diferencia entre las dos no la podemosexpresar en un valor lineal finito dado. Porque supuesto que lalínea es finita y dada, podremos suponerla á lalínea infinita en una cualquiera de sus direcciones, y desdeuno cualquiera de sus puntos, en cuyo caso llegará hasta uncierto punto de la infinita, pero esta continuaráprolongándose hasta lo infinito. Si suponemos otralínea finita dada, en la cual pensamos representar ladiferencia, deberemos superponerla á la infinita desde elpunto en que acaba la otra finita, y es evidente que seacabará en otro punto determinado por la longitud de lamisma, luego no agotará la diferencia entre la líneainfinita, y la finita.

El mismo resultado se encuentra con expresionesalgebráicas. Si A es un valor finito dado, la diferenciaentre A y ∞ no puede ser otro valor finito dado. Porqueexpresando la diferencia por{55}

D, tendremos ∞-A=D.Luego D+A=∞, luego si ambos fuesen valores finitos dados, uninfinito resultaria de dos valores finitos dados, lo que esimposible.

Se infiere de esto que una diferencia puede ser infinita encierto sentido, segun la acepcion que diésemos á lapalabra infinidad. Si desde el punto en que nos hallamos se tirauna línea en la direccion del norte hasta lo infinito, yluego se la prolonga en la direccion del sud tambien hasta loinfinito, la diferencia entre la suma de las dos y una de ellas,será infinita en un solo sentido (Cap. VIII).

Lo que hallamos en valores lineales lo encontraremos tambien enexpresiones algebráicas: si tenemos el valor infinito 2∞, y lo comparamos con ∞, resultará 2∞-∞=∞.

En general teniendo un valor infinito cualquiera, podemos sacarcon respecto á él una diferencia finita cualquiera,con tal que no tomemos por substraendo, un valor finito dado. Sea∞ el valor infinito, digo que podemos encontrarle unadiferencia finita. Porque siendo ∞ un valor infinito,contiene todos los valores finitos de su órden; luegocontiene el valor finito A; y por consiguiente puedo formar estaecuación: ∞-A=B. Sea cual fuere el valor de B, tengoque lo que va de B á ∞ es A; pues con soloañadir A á B, me resulta ∞. La ecuación∞-A=B; me da B+A=∞, y tambien ∞-B=A; y como A esun valor finito dado por el supuesto, y A es la diferencia{56}

finita dada, entre ∞ y B, resultaque á todo valor infinito se le puede encontrar unadiferencia finita.

Inferiremos de esto que el poderse asignar á unaextension infinita una diferencia finita no prueba nada contra suverdadera infinidad. Lo infinito, por lo mismo que es tal, contienetodo lo perteneciente al órden en que es infinito: tomandouno cualquiera de aquellos valores, y considerándole comouna diferencia, nos resultará una diferencia finita. Masesto lejos de probar la falta de infinidad, confirma su existencia;pues indica que todo lo finito está contenido en loinfinito.

En tal caso el substraendo será infinito bajo ciertoaspecto; pero no lo será en el órden del minuendo,por faltarle la cantidad que se ha quitado.

[87.] Hay en contra de la infinidad absoluta de la extensionotro argumento que me parece mas fuerte que ninguno de losanteriores, y que no sé por qué no habráocurrido á los que combaten dicha posibilidad; héloaquí. Supongamos existente una extension infinita. Diospuede anonadarla, y despues criar otra nueva igualmente infinita.La suma de las dos es mayor que una cualquiera de ellas; luegoninguna de por sí será infinita. Es evidente que esteaniquilamiento se puede suponer repetido tantas veces como sequiera; de donde resultará una serie de extensionesinfinitas. Los términos de esta serie no {57} puedenexistir á un mismo tiempo, pues que una extension infinitaactual excluye las otras; luego como la suma de las extensiones esmayor que un número cualquiera de los sumandos, la extensioninfinita absoluta debe hallarse, nó en los sumandos sino enla suma, luego la extension infinita en acto esintrínsecamente imposible.

Para desvanecer esta dificultad se debe distinguir entre laextension y la cosa extensa: toda la cuestion gira sobre laposibilidad intrínseca de la infinidad de la extension,considerada en sí, prescindiendo absolutamente del sujeto enque se halla. La dificultad propuesta hace desfilar ánuestros ojos una serie de extensiones infinitas que se suceden;pero si bien se reflexiona la sucesion se verifica entre los seresextensos, cuyo número se va multiplicando; pero nó enla extension misma. La idea pura de la extension infinita quetenemos para un caso, no se aumenta con las nuevas extensiones quevienen; la extension aparece, desaparece, reaparece y vuelveá desaparecer, mas con esto no se aumenta. La sucesion nosindica la posibilidad intrínseca de su aparicion ydesaparicion, su contingencia esencial, por lo que no le repugna eldejar de existir cuando existe, y el pasar de nuevo de la noexistencia á la existencia. Examinemos nuestras ideas, yecharemos de ver que concebida la extension infinita, no la podemosagrandar con ninguna suposicion imaginable; y que todo cuantohacemos se reduce á una sucesion de producciones{58}

y aniquilamientos. La idea de laextension infinita parece un hecho primitivo de nuestroespíritu; esa infinidad que imaginamos en el espacio, no esotra cosa que el resultado de los esfuerzos de nuestra idea paraexpresarse en una realidad. Habiendo sido criados con intuicionsensible, se nos ha dado la posibilidad de dilatar esa intuicion enuna escala infinita; para esto necesitábamos la idea de unaextension infinita.

CAPÍTULO XIII.