Linear Controller Design: Limits of Performance by Stephen Boyd and Craig Barratt - HTML preview

Preface

ix

1

Control Engineering and Controller Design

1

1.1 Overview of Control Engineering : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1

1.2 Goals of Controller Design : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6

1.3 Control Engineering and Technology : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9

1.4 Purpose of this Book : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11

1.5 Book Outline : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16

Notes and References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 18

I

A FRAMEWORK FOR CONTROLLER DESIGN

23

2

A Framework for Control System Architecture

25

2.1 Terminology and De nitions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 25

2.2 Assumptions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 28

2.3 Some Standard Examples from Classical Control : : : : : : : : : : : 34

2.4 A Standard Numerical Example : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 41

2.5 A State-Space Formulation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 43

Notes and References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 45

3

Controller Design Specifications and Approaches

47

3.1 Design Speci cations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 47

3.2 The Feasibility Problem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51

3.3 Families of Design Speci cations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51

3.4 Functional Inequality Speci cations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 52

3.5 Multicriterion Optimization : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 54

3.6 Optimal Controller Paradigm : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 57

3.7 General Design Procedures : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 63

Notes and References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 65

V

VI

CONTENTS

II

ANALYTICAL TOOLS

67

4

Norms of Signals

69

4.1 De nition : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 69

4.2 Common Norms of Scalar Signals : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 70

4.3 Common Norms of Vector Signals : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 86

4.4 Comparing Norms : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 89

Notes and References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 92

5

Norms of Systems

93

5.1 Paradigms for System Norms : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 93

5.2 Norms of SISO LTI Systems : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 95

5.3 Norms of MIMO LTI Systems : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 110

5.4 Important Properties of Gains : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 115

5.5 Comparing Norms : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 117

5.6 State-Space Methods for Computing Norms : : : : : : : : : : : : : : 119

Notes and References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 124

6

Geometry of Design Specifications

127

6.1 Design Speci cations as Sets : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 127

6.2 A ne and Convex Sets and Functionals : : : : : : : : : : : : : : : : 128

6.3 Closed-Loop Convex Design Speci cations : : : : : : : : : : : : : : : 135

6.4 Some Examples : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 136

6.5 Implications for Tradeo s and Optimization : : : : : : : : : : : : : : 138

6.6 Convexity and Duality : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 139

Notes and References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 143

III

DESIGN SPECIFICATIONS

145

7

Realizability and Closed-Loop Stability

147

7.1 Realizability : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 147

7.2 Internal Stability : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 150

7.3 Modi ed Controller Paradigm : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 157

7.4 A State-Space Parametrization : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 162

7.5 Some Generalizations of Closed-Loop Stability : : : : : : : : : : : : 165

Notes and References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 168

8

Performance Specifications

171

8.1 Input/Output Speci cations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 172

8.2 Regulation Speci cations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 187

8.3 Actuator E ort : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 190

8.4 Combined E ect of Disturbances and Commands : : : : : : : : : : : 191

CONTENTS

VII

9

Differential Sensitivity Specifications

195

9.1 Bode's Log Sensitivities : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 196

9.2 MAMS Log Sensitivity : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 202

9.3 General Di erential Sensitivity : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 204

Notes and References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 208

10 Robustness Specifications via Gain Bounds

209

10.1 Robustness Speci cations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 210

10.2 Examples of Robustness Speci cations : : : : : : : : : : : : : : : : : 212

10.3 Perturbation Feedback Form : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 221

10.4 Small Gain Method for Robust Stability : : : : : : : : : : : : : : : : 231

10.5 Small Gain Method for Robust Performance : : : : : : : : : : : : : : 239

Notes and References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 244

11 A Pictorial Example

249

11.1 I/O Speci cations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 250

11.2 Regulation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 254

11.3 Actuator E ort : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 256

11.4 Sensitivity Speci cations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 260

11.5 Robustness Speci cations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 262

11.6 Nonconvex Design Speci cations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 268

11.7 A Weighted-Max Functional : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 268

Notes and References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 270

IV

NUMERICAL METHODS

273

12 Some Analytic Solutions

275

12.1 Linear Quadratic Regulator : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 275

12.2 Linear Quadratic Gaussian Regulator : : : : : : : : : : : : : : : : : 278

12.3 Minimum Entropy Regulator : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 282

12.4 A Simple Rise Time, Undershoot Example : : : : : : : : : : : : : : : 283

12.5 A Weighted Peak Tracking Error Example : : : : : : : : : : : : : : : 286

Notes and References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 291

13 Elements of Convex Analysis

293

13.1 Subgradients : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 293

13.2 Supporting Hyperplanes : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 298

13.3 Tools for Computing Subgradients : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 299

13.4 Computing Subgradients : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 301

13.5 Subgradients on a Finite-Dimensional Subspace : : : : : : : : : : : : 307

Notes and References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 309

VIII

CONTENTS

14 Special Algorithms for Convex Optimization

311

14.1 Notation and Problem De nitions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 311

14.2 On Algorithms for Convex Optimization : : : : : : : : : : : : : : : : 312

14.3 Cutting-Plane Algorithms : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 313

14.4 Ellipsoid Algorithms : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 324

14.5 Example: LQG Weight Selection via Duality : : : : : : : : : : : : : 332

14.6 Complexity of Convex Optimization : : : : : : : : : : : : : : : : : : 345

Notes and References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 348

15 Solving the Controller Design Problem

351

15.1 Ritz Approximations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 352

15.2 An Example with an Analytic Solution : : : : : : : : : : : : : : : : : 354

15.3 An Example with no Analytic Solution : : : : : : : : : : : : : : : : : 355

15.4 An Outer Approximation via Duality : : : : : : : : : : : : : : : : : : 362

15.5 Some Tradeo Curves : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 366

Notes and References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 369

16 Discussion and Conclusions

373

16.1 The Main Points : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 373

16.2 Control Engineering Revisited : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 373

16.3 Some History of the Main Ideas : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 377

16.4 Some Extensions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 380

Notation and Symbols

383

List of Acronyms

389

Bibliography

391

Index

405