1
Control Engineering and Controller Design
1
1.1 Overview of Control Engineering : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1
1.2 Goals of Controller Design : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6
1.3 Control Engineering and Technology : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9
1.4 Purpose of this Book : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11
1.5 Book Outline : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16
Notes and References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 18
I
A FRAMEWORK FOR CONTROLLER DESIGN
23
2
A Framework for Control System Architecture
25
2.1 Terminology and De nitions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 25
2.2 Assumptions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 28
2.3 Some Standard Examples from Classical Control : : : : : : : : : : : 34
2.4 A Standard Numerical Example : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 41
2.5 A State-Space Formulation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 43
Notes and References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 45
3
Controller Design Specifications and Approaches
47
3.1 Design Speci cations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 47
3.2 The Feasibility Problem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51
3.3 Families of Design Speci cations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51
3.4 Functional Inequality Speci cations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 52
3.5 Multicriterion Optimization : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 54
3.6 Optimal Controller Paradigm : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 57
3.7 General Design Procedures : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 63
Notes and References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 65
V
VI
CONTENTS
II
ANALYTICAL TOOLS
67
4
Norms of Signals
69
4.1 De nition : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 69
4.2 Common Norms of Scalar Signals : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 70
4.3 Common Norms of Vector Signals : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 86
4.4 Comparing Norms : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 89
Notes and References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 92
5
Norms of Systems
93
5.1 Paradigms for System Norms : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 93
5.2 Norms of SISO LTI Systems : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 95
5.3 Norms of MIMO LTI Systems : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 110
5.4 Important Properties of Gains : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 115
5.5 Comparing Norms : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 117
5.6 State-Space Methods for Computing Norms : : : : : : : : : : : : : : 119
Notes and References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 124
6
Geometry of Design Specifications
127
6.1 Design Speci cations as Sets : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 127
6.2 A ne and Convex Sets and Functionals : : : : : : : : : : : : : : : : 128
6.3 Closed-Loop Convex Design Speci cations : : : : : : : : : : : : : : : 135
6.4 Some Examples : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 136
6.5 Implications for Tradeo s and Optimization : : : : : : : : : : : : : : 138
6.6 Convexity and Duality : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 139
Notes and References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 143
III
DESIGN SPECIFICATIONS
145
7
Realizability and Closed-Loop Stability
147
7.1 Realizability : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 147
7.2 Internal Stability : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 150
7.3 Modi ed Controller Paradigm : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 157
7.4 A State-Space Parametrization : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 162
7.5 Some Generalizations of Closed-Loop Stability : : : : : : : : : : : : 165
Notes and References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 168
8
Performance Specifications
171
8.1 Input/Output Speci cations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 172
8.2 Regulation Speci cations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 187
8.3 Actuator E ort : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 190
8.4 Combined E ect of Disturbances and Commands : : : : : : : : : : : 191
CONTENTS
VII
9
Differential Sensitivity Specifications
195
9.1 Bode's Log Sensitivities : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 196
9.2 MAMS Log Sensitivity : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 202
9.3 General Di erential Sensitivity : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 204
Notes and References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 208
10 Robustness Specifications via Gain Bounds
209
10.1 Robustness Speci cations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 210
10.2 Examples of Robustness Speci cations : : : : : : : : : : : : : : : : : 212
10.3 Perturbation Feedback Form : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 221
10.4 Small Gain Method for Robust Stability : : : : : : : : : : : : : : : : 231
10.5 Small Gain Method for Robust Performance : : : : : : : : : : : : : : 239
Notes and References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 244
11 A Pictorial Example
249
11.1 I/O Speci cations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 250
11.2 Regulation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 254
11.3 Actuator E ort : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 256
11.4 Sensitivity Speci cations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 260
11.5 Robustness Speci cations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 262
11.6 Nonconvex Design Speci cations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 268
11.7 A Weighted-Max Functional : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 268
Notes and References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 270
IV
NUMERICAL METHODS
273
12 Some Analytic Solutions
275
12.1 Linear Quadratic Regulator : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 275
12.2 Linear Quadratic Gaussian Regulator : : : : : : : : : : : : : : : : : 278
12.3 Minimum Entropy Regulator : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 282
12.4 A Simple Rise Time, Undershoot Example : : : : : : : : : : : : : : : 283
12.5 A Weighted Peak Tracking Error Example : : : : : : : : : : : : : : : 286
Notes and References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 291
13 Elements of Convex Analysis
293
13.1 Subgradients : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 293
13.2 Supporting Hyperplanes : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 298
13.3 Tools for Computing Subgradients : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 299
13.4 Computing Subgradients : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 301
13.5 Subgradients on a Finite-Dimensional Subspace : : : : : : : : : : : : 307
Notes and References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 309
VIII
CONTENTS
14 Special Algorithms for Convex Optimization
311
14.1 Notation and Problem De nitions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 311
14.2 On Algorithms for Convex Optimization : : : : : : : : : : : : : : : : 312
14.3 Cutting-Plane Algorithms : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 313
14.4 Ellipsoid Algorithms : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 324
14.5 Example: LQG Weight Selection via Duality : : : : : : : : : : : : : 332
14.6 Complexity of Convex Optimization : : : : : : : : : : : : : : : : : : 345
Notes and References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 348
15 Solving the Controller Design Problem
351
15.1 Ritz Approximations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 352
15.2 An Example with an Analytic Solution : : : : : : : : : : : : : : : : : 354
15.3 An Example with no Analytic Solution : : : : : : : : : : : : : : : : : 355
15.4 An Outer Approximation via Duality : : : : : : : : : : : : : : : : : : 362
15.5 Some Tradeo Curves : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 366
Notes and References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 369
16 Discussion and Conclusions
373
16.1 The Main Points : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 373
16.2 Control Engineering Revisited : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 373
16.3 Some History of the Main Ideas : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 377
16.4 Some Extensions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 380
Notation and Symbols
383
List of Acronyms
389
Bibliography
391
Index
405
